Содержание

«Principia Mathematica» состоит из 3-х томов, которые разделены на 6 частей.

I том вышел в свет в 1910 году и содержал базовые аксиомы и правила вывода аксиом более высокого порядка, элементарные операции над множествами и бинарные отношения, определение единицы и двойки как чисел. В I томе рассматривалась теорема Цермело, аксиома выбора и теорема Кантора — Бернштейна.

II том был выпущен в 1912 году. В нём рассматривались кардинальные числа и арифметические операции над ними, конечные числа, арифметика бинарных отношений, линейно упорядоченные множества, упорядоченные множества Дедекинда, предельные точки и непрерывные функции.

III том был выпущен в 1913 году. В III томе Рассел и Уайтхед рассматривали вполне упорядоченные множества, полностью упорядоченные множества, множества целых, рациональных, вещественных чисел и их измерение. Также был затронут вопрос эквивалентности аксиомы выбора и принципа вполне упорядочения.

IV том планировался к выходу и он должен был быть посвящен геометрии, но так и не был написан.

Критика и влияние

Хотя в Рассел и Уайтхед преуспели своей работе по логическому обоснованию большей части математических теорем, критики указывали на то, что две введенные аксиомы (аксиома бесконечности и аксиома сводимости) не являются чисто логическими. Так, по мнению критиков. аксиома бесконечности является эмпирической, но не логической. А аксиома сводимости была введена ad hoc для обхода неудобных эффектов теории типов. Таким образом вопрос о возможности логицизма остался открытым.

Когда в работу по доказательству непротиворечивости формальных систем «Principia Mathematica» включился К. Гёдель наступил переломный момент. В 1931 года Гёдель доказал невозможность обоснования непротиворечивости формальной арифметики с помощью её собственных средств, а предположение о её непротиворечивости означает невозможность доказательства всех перво-порядковых аксиом о натуральных числах (см. теорема Гёделя о неполноте). В научном сообществе эта теорема Гёделя была воспринята как невозможность как логицизма, так и формализма. Результаты работы Гёделя по формальным системам «Principia Mathematica» затронули не только логику, математику и философию, но так же и вопросы, лежащие в таких областях человеческого знания как эпистемология, психология и методология систем искусственного интеллекта.

Не смотря на всю критику «Principia Mathematica» продолжает оставаться одним из самых влиятельных логических трудов в мире. Благодаря этой работе намного бо́льшую популярность получила новая математическая логика. Одна из заслуг Рассела и Уайтхеда здесь в том, что им удалось, как никому ранее, показать мощность логики предикатов. Они также показали насколько богатой и универсальной может быть идея формальных систем и открыли тем самым новое направление исследований - металогику. «Principia Mathematica» оказала большое влияние на дальнейшее развитие логики и положила начало многим металогическим исследованиям. Так В 1920 году Э. Пост доказал дедуктивную и функциональную полноту логики высказываний, а в 1930 году К. Гёдель доказал дедуктивную полноту логики предикатов. Так же коцепции книги повлияли на работы таких логиков и математиков как А. Тьюринг и А. Чёрч.

Помимо этого Рассел и Уайтхед показали четкую связь между логицизмом и двумя основными направлениями философии: метафизикой и эпистемологией, «Principia Mathematica» подстегнула развитие исследований в обоих направлениях и продолжает оказывать влияние на математику и логику.

Хотя попытки возродить логицизм Рассела и Уайтхеда продолжаются по сей день, многие авторы считают что формальные системы «Principia Mathematica» слишком слабы или запутанны для того чтобы реально обосновать возможность логицизма.

Переводы на другие языки

Перевод I тома книги на русский вышел в 2004 году, II тома — в 2005 году, а третьего — в 2006 году. Перевод был выполнен под редакцией Г. П. Ярового и Ю. Н. Радаева.