Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

Principia Mathematica (Принципы математики) — трехтомный труд по логике и философии математики Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, выпущенный в 1910, 1912 и 1913 годах. Название монографии переводилось также как «Начала математики» или «Основания математики».

Наряду с Органоном (Όργανον) Аристотеля и работой «Основные законы арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik) Фридриха Фреге является одним из самых влиятельных трудов по логике в истории. Объём «Principia Mathematica» в общей сложности составляет около 2000 страниц.

В своей работе Рассел и Уйатхед стремились показать что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий, то есть авторы стремились обосновать логицизм. Для этого была введена теория типов, в рамках которой было невозможно сформулировать понятие «множество всех множеств», которое приводило к парадоксу Рассела. Помимо этого были введены две аксиомы: аксиома бесконечности (существует бесконечное число объектов) и аксиома сводимости (для каждого множества существует равнообъемное ему множество первого порядка).

История

Центральная идея «Principia Mathematica» о сводимости математики к логике (логицизм) была неявно высказана ещё Лейбницем XVII веке, позже в явном виде её высказал Фреге, который разработал логико-математический аппарат необходимый для технического обоснования логицизма.

В 1898 Уайтхед издает свою работу по логицизму «A Treatise on Universal Algebra», а в 1903 Рассел пишет статью «The Principles of Mathematics». Поскольку оба математика пришли к сходным выводам, а темы их работ перекликались вскоре они начали сотрудничество над совместной работой, которая получила название «Principia Mathematica». Выбор названия был связан не столько с «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» Ньютона, сколько с работой Мура «Principia Ethica».

На Рассела ложилась философская часть работы, технические же моменты писались совместно. Как писал Рассел:

Что касается математических проблем, Уайтхед разработал большую часть системы обозначения, за исключением того что уже было у Пеано; Я работал с рядами и Уайтхед сделал все остальное. Но это относится только первым наброскам. Каждая часть переделывались 3 раза. Один из нас делал первый набросок текста и посылал второму, который обычный его видоизменял и отправлял назад. Потом автор первого наброска снова изменял текст и только тогда получался окончательный текст. Навряд ли существует хоть строчка во всех трех томах, которая не является результатом совместной работы.

Математики планировали закончить работу за год, однако спустя почти десять лет работа ещё не была завершена. К тому же издательство Cambridge University Press решило что издание этой работы принесет убыток в 600 фунтов стерлинга, 300 из которых издательство было готово взять на себя, 200 пожертвовало Лондонское королевское общество и по 50 выплатили издательству Рассел и Уайтхед из личных средств. В настоящий момент нет ни одной академической библиотеки, где нет издания «Principia Mathematica».