Деление

• Например, 30/20 = ?

# Сначала записывался такой ряд чисел, что каждое последующее число получалось путем удвоения предыдущего, например: 1, 2, 4 … Для некоторых задач для упрощения счета первый ряд чисел мог начинаться с числа, отличного от единицы, однако принцип удвоения предыдущего числа для образования последующего сохранялся.

1. Напротив единицы писалось наименьшее число, в нашем случае это 20, далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число получалось удвоением предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 2 писалось 40 (то есть 20 х 2), напротив 4 — 80 (то есть 40 х 2) …

# Выбиралось такое число из второго ряда, которое было наиболее близко по значению к 30, то есть наибольшему числу в нашем примере. Это 20.

1. Числу 20 в первом ряду соответствовала цифра 1. Эти цифры запоминались.

# Поскольку 30 было больше чем 20 и меньше, чем 40 (то есть сумма значений цифр из второго ряда не давала 30), далее использовалось деление пополам.

1. Для этого записывался такой ряд чисел, начиная с 1/2, что каждое последующее число было в два раза меньше предыдущего: 1/2, 1/4, 1/8 … Для других примеров могла быть использована другая дробь, однако принцип деления пополам предыдущего числа для образования последующего сохранялся.

# Напротив 1/2 писалась половина наименьшего числа (так как если бы дробь умножалась на число), в нашем случае 20/2 = 10, далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число было в два раза меньше предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 1/4 писалось 5 (то есть 10/2) … Если делить дальше было нельзя (во втором ряду должны быть только целые числа!), то при необходимости (если решение ещё не было найдено) составлялся новый аналогичный ряд с использованием таких же или других дробей (например, 5 нельзя было разделить на 2, но можно было разделить на 5), пока числа из второго ряда не выбирали остаток суммы до большего по условию задачи числа.

1. Далее необходимо было найти такое минимальное количество чисел из второго ряда, которое в сумме с ранее найденным числом 20 давали бы 30, то есть наибольшее число в нашем примере. Это число 10 (20 + 10 = 30).

# Числу 10 из второго ряда соответствовала дробь 1/2 из первого ряда.

1. Отношение 30 к 20 равнялось сумме выбранных чисел из первого ряда, то есть 1 + 1/2 (=1,5)

Деление не всегда было связано с поиском дробных чисел, в этом случае подбиралось минимальное количество чисел из второго ряда, которое в сумме давало бы наибольшее данное по условиям задачи число, а решением задачи в этом случае была бы сумма соответствующих им чисел из первого ряда.

Дополнительные действия

1. Иногда наряду с удвоением и деление пополам использовалось умножение и деление на 5 и на 10, а также на 50, 100 и т. д. (как свойство десятичной системы измерений).

# При операциях с дробями использовались канонические разложения дробей типа 2/n (их полагалось знать наизусть, так как они использовались очень часто, например 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1/6; 1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18 и т. д.), а также метод «красного числа» (дополнительные числа, добавляемые к дроби для приведения её к аликвотной форме, писались красными чернилами). Этот метод использовался для больших дробей. :en:Red_auxiliary_number Например, 2/43 необходимо было выразить суммой аликвотных дробей (так как древние египтяне использовали только дроби с числителем, равным единице). Для этого числитель и знаменатель умножались на 42 (то есть 43 — 1), получалось 84/1806. Используя тот же метод, как при умножении или делении, определялись и записывались красными чернилами числа, кратные знаменателю (1806): 43, 42, 21, 14, 7, 6, 4, 3, 2, 1, далее выбиралось минимальное количество таких красных чисел, так чтобы их сумма была равна числителю (84), это 43, 21, 14 и 6. Наконец, дробь 2/43 записывалась как (43 + 21 + 14 + 6)/1806 = 43/1806 + 21/1806 + 14/1806 + 6/1806 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. Разложение было закончено.